Номер 403, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 403, страница 112.

Условие.

403 В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите периметр треугольника $AOB$, если $\angle CAD = 30^\circ$, $AC = 12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: $ABCD$ – прямоугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $\angle CAD = 30^\circ$, $AC = 12$ см.

Найти: Периметр треугольника $AOB$ ($P_{AOB}$).

Решение:

1. По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 12$ см, и $AO = OC = BO = OD$.

2. Найдем длину отрезков $AO$ и $BO$:
$AO = BO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Так как $AO = BO$, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

3. Все углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому $\angle DAB = 90^\circ$. Угол $\angle DAB$ состоит из двух углов: $\angle CAD$ и $\angle CAB$.
Найдем угол $\angle CAB$:
$\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

4. В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол $\angle OAB$ (который является тем же углом, что и $\angle CAB$) равен $60^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит $\angle OBA = \angle OAB = 60^\circ$.

5. Поскольку два угла в треугольнике $AOB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle AOB$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $AOB$ является равносторонним.

6. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = AO = BO = 6$ см.

7. Периметр треугольника $AOB$ равен сумме длин его сторон:
$P_{AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: 18 см.