Номер 399, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 399, страница 112.

Условие.

399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого один из углов прямой. Для определённости, пусть $ \angle A = 90^{\circ} $.

Согласно одному из свойств параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $ 180^{\circ} $. Рассмотрим углы, прилежащие к стороне AB: $ \angle A $ и $ \angle B $. Их сумма $ \angle A + \angle B = 180^{\circ} $. Так как по условию $ \angle A = 90^{\circ} $, то $ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $.

По другому свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны. Следовательно, $ \angle C $ равен противолежащему ему $ \angle A $, а $ \angle D $ равен противолежащему ему $ \angle B $.
$ \angle C = \angle A = 90^{\circ} $
$ \angle D = \angle B = 90^{\circ} $

Таким образом, все углы данного параллелограмма ($ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D $) равны $ 90^{\circ} $.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поскольку мы доказали, что у данного параллелограмма все углы прямые, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.