Номер 402, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 402, страница 112.

Условие.

402 ☐ Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $AOD$ и $AOB$ равнобедренные.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, диагонали которого, $AC$ и $BD$, пересекаются в точке $O$.

Для доказательства воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны между собой. То есть, $AC = BD$.

2. Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из того, что $AC = BD$, следует, что и их половины равны: $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.
Таким образом, все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Доказательство, что треугольник AOD равнобедренный
Рассмотрим треугольник $AOD$. Его стороны $AO$ и $OD$ являются половинами диагоналей. Как мы установили выше, $AO = OD$. Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AOD$ — равнобедренный.
Ответ: Треугольник $AOD$ является равнобедренным.

Доказательство, что треугольник AOB равнобедренный
Рассмотрим треугольник $AOB$. Его стороны $AO$ и $BO$ также являются половинами диагоналей. Как мы установили выше, $AO = BO$. Следовательно, по определению, $\triangle AOB$ также является равнобедренным.
Ответ: Треугольник $AOB$ является равнобедренным.