Номер 392, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 392, страница 106.

Условие.

392. Основания прямоугольной трапеции равны $a$ и $b$, один из углов равен $\alpha$. Найдите:

а) большую боковую сторону трапеции, если $a = 4$ см, $b = 7$ см, $\alpha = 60^{\circ}$;

б) меньшую боковую сторону трапеции, если $a = 10$ см, $b = 15$ см, $\alpha = 45^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. В такой трапеции $AB$ является меньшей боковой стороной и высотой ($h$), а $CD$ — большей (наклонной) боковой стороной. Угол $\alpha$ — это острый угол при большем основании, пусть это будет угол $\angle D$.

Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.

В прямоугольном треугольнике $CHD$:

• Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть меньшей боковой стороне: $CH = h = AB$.
• Катет $HD$ равен разности длин оснований: $HD = |AD - BC| = |b - a|$.
• Гипотенуза $CD$ — это большая боковая сторона трапеции.
• Угол $\angle CDH = \alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $CHD$ имеем:

• $CD = \frac{HD}{\cos(\alpha)} = \frac{|b - a|}{\cos(\alpha)}$ (для нахождения большей боковой стороны).
• $h = HD \cdot \tan(\alpha) = |b - a| \cdot \tan(\alpha)$ (для нахождения меньшей боковой стороны).

а)

По условию, основания трапеции равны $a = 4$ см и $b = 7$ см, а угол $\alpha = 60^\circ$. Требуется найти большую боковую сторону.

Большая боковая сторона — это гипотенуза $CD$ в треугольнике $CHD$. Разность оснований равна $|b - a| = |7 - 4| = 3$ см.

Используем формулу для нахождения большей боковой стороны:

$CD = \frac{|b - a|}{\cos(\alpha)}$

Подставляем заданные значения:

$CD = \frac{3}{\cos(60^\circ)}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$CD = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б)

По условию, основания трапеции равны $a = 10$ см и $b = 15$ см, а угол $\alpha = 45^\circ$. Требуется найти меньшую боковую сторону.

Меньшая боковая сторона — это высота трапеции $h = CH$. Разность оснований равна $|b - a| = |15 - 10| = 5$ см.

Используем формулу для нахождения меньшей боковой стороны (высоты):

$h = |b - a| \cdot \tan(\alpha)$

Подставляем заданные значения:

$h = 5 \cdot \tan(45^\circ)$

Зная, что $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$h = 5 \cdot 1 = 5$ см.

Ответ: 5 см.