Номер 388, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 388, страница 105.

Условие.

388 Докажите, что в равнобедренной трапеции:

а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) углы при каждом основании равны

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Проведём из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Получим прямоугольник $BCKH$ (так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ как перпендикуляры к одной прямой), поэтому $BH = CK$ как высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. В этих треугольниках:1. $AB = CD$ (гипотенузы), так как трапеция равнобедренная по условию.2. $BH = CK$ (катеты), как высоты, проведённые к одному основанию. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle A = \angle D$. Теперь докажем, что углы при другом основании также равны. Так как $BC \parallel AD$, то сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей). Имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle D + \angle C = 180^\circ$. Отсюда выразим $\angle B$ и $\angle C$: $\angle B = 180^\circ - \angle A$ и $\angle C = 180^\circ - \angle D$. Поскольку ранее мы доказали, что $\angle A = \angle D$, то и $\angle B = \angle C$. Таким образом, углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) диагонали равны

Рассмотрим ту же равнобедренную трапецию $ABCD$ и её диагонали $AC$ и $BD$. Для доказательства их равенства рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В этих треугольниках:1. $AB = DC$ по определению равнобедренной трапеции.2. $AD$ — общая сторона.3. $\angle BAD = \angle CDA$ как углы при основании равнобедренной трапеции, что было доказано в пункте а). Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности сторон: $BD = AC$. Таким образом, диагонали равнобедренной трапеции равны.
Ответ: Что и требовалось доказать.