Номер 382, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 382, страница 104.

Условие.

382. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$, — параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, ABCD — параллелограмм, а точка O — точка пересечения его диагоналей AC и BD. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, то есть $OA = OC$ и $OB = OD$.

Точки A₁, B₁, C₁ и D₁ являются серединами отрезков OA, OB, OC и OD соответственно. Из этого следует:
$OA_1 = \frac{1}{2}OA$
$OB_1 = \frac{1}{2}OB$
$OC_1 = \frac{1}{2}OC$
$OD_1 = \frac{1}{2}OD$

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Рассмотрим диагонали четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ — это отрезки A₁C₁ и B₁D₁.

Так как точка A₁ лежит на отрезке OA, а точка C₁ — на отрезке OC, то точки A₁, O и C₁ лежат на одной прямой (прямой AC). Сравним длины отрезков OA₁ и OC₁. Поскольку $OA = OC$, то и их половины равны: $OA_1 = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OC = OC_1$. Это означает, что точка O является серединой диагонали A₁C₁.

Аналогично, так как точка B₁ лежит на отрезке OB, а точка D₁ — на отрезке OD, то точки B₁, O и D₁ лежат на одной прямой (прямой BD). Сравним длины отрезков OB₁ и OD₁. Поскольку $OB = OD$, то и их половины равны: $OB_1 = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}OD = OD_1$. Это означает, что точка O является серединой диагонали B₁D₁.

Таким образом, мы доказали, что диагонали четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ является параллелограммом, так как его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.