Номер 380, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 380, страница 104.

Условие.

380 На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM = CP$, $BN = DQ$, $BM = DP$, $NC = QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство того, что ABCD — параллелограмм

По условию задачи, на сторонах четырехугольника $ABCD$ отмечены точки $M, N, P, Q$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MB$: $AB = AM + MB$. Аналогично, точка $P$ лежит на стороне $CD$, поэтому $CD = CP + PD$.

В условии даны следующие равенства длин отрезков:

$AM = CP$

$BM = DP$

Сложим левые и правые части этих равенств:

$AM + BM = CP + DP$

Из этого следует, что $AB = CD$. Мы доказали, что одна пара противолежащих сторон четырехугольника $ABCD$ равна.

Теперь рассмотрим другую пару противолежащих сторон, $BC$ и $DA$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BN + NC$. Точка $Q$ лежит на стороне $DA$, поэтому $DA = DQ + QA$.

В условии также даны равенства:

$BN = DQ$

$NC = QA$

Сложим эти равенства:

$BN + NC = DQ + QA$

Отсюда следует, что $BC = DA$. Мы доказали, что вторая пара противолежащих сторон четырехугольника $ABCD$ также равна.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то по признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение, что $ABCD$ — параллелограмм, доказано.

Доказательство того, что MNPQ — параллелограмм

Из первого пункта доказательства мы знаем, что $ABCD$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих углов. Следовательно, $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Рассмотрим треугольники $\triangle QAM$ и $\triangle NCP$. Сравним их элементы:

• $AM = CP$ (по условию)
• $QA = NC$ (по условию)
• $\angle A = \angle C$ (как противолежащие углы параллелограмма $ABCD$)

Таким образом, треугольники $\triangle QAM$ и $\triangle NCP$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $QM = NP$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle PDQ$. Сравним их элементы:

• $BM = DP$ (по условию)
• $BN = DQ$ (по условию)
• $\angle B = \angle D$ (как противолежащие углы параллелограмма $ABCD$)

Следовательно, треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle PDQ$ также равны по двум сторонам и углу между ними. Из их равенства следует, что $MN = PQ$.

Мы получили, что в четырехугольнике $MNPQ$ противолежащие стороны попарно равны ($QM = NP$ и $MN = PQ$). Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение, что $MNPQ$ — параллелограмм, доказано.