Номер 377, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 377, страница 103.

Условие.

377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см, $\angle MNH = 30^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, в параллелограмме $MNPQ$ проведен перпендикуляр $NH$ к стороне $MQ$, причём $H$ лежит на $MQ$. Это означает, что треугольник $\Delta MNH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle NHM = 90^{\circ}$).
Дано: $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см, $\angle MNH = 30^{\circ}$.

Найдём стороны параллелограмма

1. Найдём длину стороны $MQ$. Так как точка $H$ лежит на стороне $MQ$, её длина равна сумме длин отрезков $MH$ и $HQ$:
$MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см.

2. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона $NP$ равна стороне $MQ$:
$NP = MQ = 8$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta MNH$. В нём катет $MH$ лежит напротив угла $\angle MNH = 30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона $MN$.
$MH = \frac{1}{2}MN$
Подставив известное значение $MH = 3$ см, получаем:
$3 = \frac{1}{2}MN$
$MN = 2 \cdot 3 = 6$ см.

4. Противолежащая сторона $PQ$ равна стороне $MN$, так как $MNPQ$ — параллелограмм.
$PQ = MN = 6$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см.

Найдём углы параллелограмма

1. В прямоугольном треугольнике $\Delta MNH$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Острыми углами являются $\angle M$ (он же $\angle NMH$) и $\angle MNH$.
$\angle M + \angle MNH = 90^{\circ}$
Отсюда находим величину угла $\angle M$:
$\angle M = 90^{\circ} - \angle MNH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

2. В параллелограмме противолежащие углы равны. Значит, угол $\angle P$ равен углу $\angle M$.
$\angle P = \angle M = 60^{\circ}$.

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$. Для стороны $MN$ это углы $\angle M$ и $\angle N$.
$\angle M + \angle N = 180^{\circ}$
Найдём угол $\angle N$:
$\angle N = 180^{\circ} - \angle M = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

4. Противолежащий угол $\angle Q$ равен углу $\angle N$.
$\angle Q = \angle N = 120^{\circ}$.

Ответ: углы параллелограмма равны $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.