Номер 393, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция - номер 393, страница 106.

Условие.

393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка $M_1N_1$, $M_2N_2$, $M_3N_3$ (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм $ABCD$, у которого смежные стороны, скажем $AB$ и $AD$, равны соответственно отрезкам $M_1N_1$ и $M_2N_2$, а диагональ $BD$ равна отрезку $M_3N_3$. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм $ABCD$ построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника $ABD$ равны данным отрезкам $M_1N_1$, $M_2N_2$ и $M_3N_3$. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник $ABD$, а затем достроить его до параллелограмма $ABCD$.

Построение

Строим треугольник $ABD$ так, чтобы его стороны $AB$, $AD$ и $BD$ равнялись соответственно отрезкам $M_1N_1$, $M_2N_2$ и $M_3N_3$ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку $B$ параллельно $AD$, и вторую прямую, проходящую через точку $D$ параллельно $AB$ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой $C$ (рис. 166, в). Четырёхугольник $ABCD$ и есть искомый параллелограмм.

Рис. 166

Доказательство

По построению $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, поэтому $ABCD$ — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма $ABCD$ по построению равны отрезкам $M_1N_1$ и $M_2N_2$, а диагональ $BD$ равна отрезку $M_3N_3$, т. е. параллелограмм $ABCD$ — искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам $M_1N_1$, $M_2N_2$ и $M_3N_3$ можно построить треугольник $ABD$, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм $ABCD$. Но треугольник $ABD$ можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник $ABD$, а значит, и параллелограмм $ABCD$ построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.