Номер 419, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 419, страница 113.

Условие.

419 □ Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Пусть точки $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Проведем прямую $l$ через точки $M$ и $N$. Необходимо доказать, что прямая $l$ является осью симметрии прямоугольника $ABCD$.

Ось симметрии фигуры — это прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура переходит сама в себя. Это означает, что для любой точки $P$ прямоугольника, точка $P'$, симметричная ей относительно прямой $l$, также принадлежит этому прямоугольнику.

Рассмотрим две части, на которые прямая $l$ делит прямоугольник $ABCD$ — это четырехугольники $AMND$ и $BMNC$. Докажем, что при симметрии относительно прямой $MN$ четырехугольник $AMND$ отображается на четырехугольник $BMNC$.

1. По определению прямоугольника, $AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$, $AB = CD$, $AD = BC$, и все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

2. Так как $M$ — середина стороны $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

3. Так как $N$ — середина стороны $CD$, то $DN = NC = \frac{1}{2}CD$.

4. Поскольку $AB = CD$, из предыдущих двух пунктов следует, что $AM = MB = DN = NC$.

5. Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Его стороны $AM$ и $DN$ параллельны (так как они лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$) и равны ($AM = DN$). Следовательно, $AMND$ — параллелограмм. Так как угол $\angle A = 90^\circ$, то параллелограмм $AMND$ является прямоугольником.

6. Аналогично, для четырехугольника $BMNC$ стороны $BM$ и $CN$ параллельны и равны. Следовательно, $BMNC$ — параллелограмм. Так как угол $\angle B = 90^\circ$, то $BMNC$ является прямоугольником.

7. Теперь сравним прямоугольники $AMND$ и $BMNC$.
- У них есть общая сторона $MN$.
- Их стороны $AM$ и $BM$ равны по построению ($AM=BM$).
- Их стороны $AD$ и $BC$ равны как противоположные стороны исходного прямоугольника $ABCD$ ($AD=BC$).
Прямоугольники равны, если равны их смежные стороны. У прямоугольника $AMND$ смежные стороны $AM$ и $AD$. У прямоугольника $BMNC$ смежные стороны $BM$ и $BC$. Так как $AM = BM$ и $AD = BC$, то прямоугольник $AMND$ равен прямоугольнику $BMNC$.

Равенство этих двух прямоугольников, имеющих общую сторону $MN$, означает, что при симметричном отражении относительно прямой $MN$ прямоугольник $AMND$ полностью совпадет с прямоугольником $BMNC$. В частности, вершина $A$ отобразится на вершину $B$, а вершина $D$ — на вершину $C$. Таким образом, весь прямоугольник $ABCD$ отображается сам на себя.

Следовательно, прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Ответ: Утверждение доказано.