Номер 420, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 420, страница 113.

Условие.

420 ☐ Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). Проведём из вершины $B$ биссектрису $BD$ к основанию $AC$.

Чтобы доказать, что прямая, содержащая биссектрису $BD$, является осью симметрии треугольника $ABC$, необходимо показать, что при осевой симметрии относительно этой прямой треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, образованные биссектрисой $BD$.

Сравним эти треугольники:
1. $AB = BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.
2. $\angle ABD = \angle CBD$, так как $BD$ — биссектриса угла $\angle B$.
3. $BD$ — общая сторона для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:
1. $AD = CD$. Это означает, что точка $D$ является серединой основания $AC$, и, следовательно, биссектриса $BD$ является также и медианой.
2. $\angle ADB = \angle CDB$. Так как эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$ ($\angle ADB + \angle CDB = 180^\circ$), то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна $AC$ ($BD \perp AC$), и, следовательно, биссектриса $BD$ является также и высотой.

Теперь рассмотрим симметрию относительно прямой, содержащей отрезок $BD$.
– Вершина $B$ лежит на этой прямой, поэтому при симметрии она отображается сама на себя.
– Так как прямая, содержащая $BD$, перпендикулярна отрезку $AC$ и проходит через его середину $D$, то по определению осевой симметрии точки $A$ и $C$ симметричны относительно этой прямой. Это значит, что при отражении точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ — в точку $A$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой, содержащей $BD$, вершины треугольника $ABC$ отображаются следующим образом: $A \rightarrow C$, $B \rightarrow B$, $C \rightarrow A$. Это означает, что треугольник $ABC$ отображается на треугольник $CBA$, то есть на самого себя. По определению, прямая, содержащая биссектрису $BD$, является осью симметрии треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, содержащая биссектрису, проведённую к основанию равнобедренного треугольника, является его осью симметрии, так как эта биссектриса является также медианой и высотой, что обеспечивает симметричное расположение вершин основания относительно этой прямой.