Номер 4, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 4, страница 113.

Условие.

4 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого $n$-угольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для того чтобы вывести формулу суммы углов выпуклого n-угольника, воспользуемся методом его разбиения на треугольники. Сумма углов любого треугольника, как известно, составляет $180^\circ$.

Рассмотрим выпуклый n-угольник (многоугольник с $n$ вершинами, где $n \ge 3$).

1. Выберем одну любую вершину этого многоугольника.

2. Из этой вершины проведем все возможные диагонали ко всем остальным вершинам. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Таким образом, из выбранной вершины мы не можем провести диагональ к ней самой и к двум ее соседним вершинам. Это означает, что мы можем провести $n-3$ диагонали.

3. Проведенные $n-3$ диагонали разделяют n-угольник на $(n-3) + 1 = n-2$ треугольника. Например:

• Четырехугольник ($n=4$) делится одной диагональю ($4-3=1$) на два треугольника ($4-2=2$).
• Пятиугольник ($n=5$) делится двумя диагоналями ($5-3=2$) на три треугольника ($5-2=3$).

4. Сумма внутренних углов исходного n-угольника в точности равна сумме углов всех треугольников, на которые он был разделен, так как углы многоугольника складываются из углов этих треугольников.

5. Поскольку мы получили $n-2$ треугольника, а сумма углов каждого из них равна $180^\circ$, то общая сумма углов $S_n$ n-угольника будет равна:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Эта формула и является искомой.

Ответ: Формула для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество вершин (углов) многоугольника.