Номер 10, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 10, страница 113.

Условие.

10 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками равенства треугольников.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Нам необходимо доказать, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• Сторона $AB$ равна стороне $CD$, так как по определению параллелограмма его противолежащие стороны равны.
• Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OCD$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
• Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$. Эти углы также являются внутренними накрест лежащими, но при тех же параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Значит, сторона $AO$ треугольника $\triangle AOB$ равна соответствующей стороне $OC$ треугольника $\triangle COD$, а сторона $BO$ равна стороне $OD$.

Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$, что означает, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Мы рассмотрели треугольники $AOB$ и $COD$, образованные пересечением диагоналей параллелограмма $ABCD$. Доказав их равенство по стороне ($AB=CD$) и двум прилежащим углам ($\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$), мы установили, что соответствующие стороны этих треугольников равны: $AO=OC$ и $BO=OD$. Это и означает, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.