Номер 16, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 16, страница 114.

Условие.

16 Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой четырёхугольник называется ромбом?

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ответ: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и в этой точке делятся пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).

Рассмотрим треугольник $ΔABD$. Он является равнобедренным, так как по определению ромба его стороны $AB$ и $AD$ равны ($AB = AD$). Отрезок $AO$ является медианой этого треугольника, проведенной к основанию $BD$, так как точка $O$ — середина стороны $BD$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно и высотой, и биссектрисой. Отсюда следуют два вывода:

1. Доказательство перпендикулярности диагоналей.
   Так как $AO$ является высотой треугольника $ΔABD$, то она перпендикулярна основанию $BD$, то есть $AO ⊥ BD$. Поскольку отрезок $AO$ является частью диагонали $AC$, то и вся диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$. Что и требовалось доказать.
2. Доказательство того, что диагонали делят углы пополам.
   Так как $AO$ является биссектрисой угла $∠BAD$, то она делит этот угол пополам: $∠BAO = ∠DAO$.
   Аналогично, рассмотрев равнобедренный треугольник $ΔABC$ (стороны $AB=BC$), мы докажем, что его медиана $BO$ является биссектрисой угла $∠ABC$, то есть $∠ABO = ∠CBO$.
   Таким же образом можно доказать, что диагонали делят пополам и остальные углы ромба ($∠C$ и $∠D$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве равнобедренного треугольника. Диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника, а также на пары равных равнобедренных треугольников ($ΔABD$ и $ΔCBD$, а также $ΔABC$ и $ΔADC$). В любом из этих равнобедренных треугольников (например, в $ΔABD$) одна из диагоналей является основанием ($BD$), а половина другой диагонали ($AO$) — медианой, проведенной к этому основанию. Так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой, то отсюда следуют оба свойства: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.