Номер 15, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 15, страница 114.

Условие.

15 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$. По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Чтобы доказать, что $ABCD$ — прямоугольник, достаточно показать, что один из его углов равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$, образованные диагоналями и сторонами параллелограмма.

Сравним эти два треугольника:
1. $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма).
2. $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.
3. $AC = BD$ (по условию задачи).

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол, лежащий против стороны $AC$ в $\triangle ABC$, равен углу, лежащему против стороны $BD$ в $\triangle DCB$. То есть, $\angle ABC = \angle DCB$.

В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Для стороны $BC$ и параллельных прямых $AB$ и $DC$ имеем:
$\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ$

Так как мы установили, что $\angle ABC = \angle DCB$, мы можем заменить $\angle DCB$ на $\angle ABC$ в уравнении:
$\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$
$\angle ABC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку параллелограмм $ABCD$ имеет прямой угол ($\angle ABC = 90^\circ$), он является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.