Номер 14, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 14, страница 114.

Условие.

14 Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой четырёхугольник называется прямоугольником?

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). Так как прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми его свойствами, например, противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

Ответ: Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$, так как они являются противоположными сторонами прямоугольника.
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle DAB$ равен углу $\angle ADC$, так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. В частности, сторона $BD$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $AC$ треугольника $\triangle DCA$. Эти стороны являются диагоналями прямоугольника.

Таким образом, $AC = BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство диагоналей прямоугольника доказывается через равенство треугольников, образованных диагоналями и сторонами прямоугольника (например, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по двум сторонам и углу между ними).