Номер 17, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 17, страница 114.

Условие.

17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой четырёхугольник называется квадратом?

Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Более простые и распространённые определения квадрата:

• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Из определений следует, что квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно, а значит, и частным случаем параллелограмма.

Ответ: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Основные свойства квадрата

Квадрат, как частный случай прямоугольника и ромба, обладает всеми их свойствами. Основные свойства квадрата:

• Стороны и углы:
  • Все стороны равны.
  • Все углы прямые (равны $90^\circ$).
  • Противоположные стороны попарно параллельны.
• Диагонали:
  • Диагонали равны.
  • Диагонали взаимно перпендикулярны (пересекаются под углом $90^\circ$).
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Диагонали являются биссектрисами его углов, то есть делят их на два угла по $45^\circ$.
• Симметрия:
  • Квадрат имеет четыре оси симметрии: две проходят через диагонали, а две другие — через середины противолежащих сторон.
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата, а также центром его вписанной и описанной окружностей.
• Формулы (для квадрата со стороной $a$ и диагональю $d$):
  • Периметр: $P = 4a$.
  • Площадь: $S = a^2$ или $S = \frac{1}{2}d^2$.
  • Длина диагонали: $d = a\sqrt{2}$.
  • Радиус описанной окружности: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
  • Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Основные свойства квадрата: все стороны равны; все углы прямые; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами углов.