Номер 424, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 424, страница 114.

Условие.

424 Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Известно, что сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Обозначим углы нашего четырехугольника как $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. Таким образом, справедливо равенство: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ$.

Теперь предположим, что утверждение задачи неверно. То есть, не все углы четырехугольника равны между собой, но при этом среди них нет ни одного тупого угла. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если в четырехугольнике нет тупых углов, то все его углы являются либо острыми (меньше $90^\circ$), либо прямыми (равны $90^\circ$). Это означает, что для каждого из четырех углов выполняется неравенство:

$\alpha_1 \le 90^\circ$
$\alpha_2 \le 90^\circ$
$\alpha_3 \le 90^\circ$
$\alpha_4 \le 90^\circ$

Сложим эти четыре неравенства:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 360^\circ$

Мы знаем, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна в точности $360^\circ$. Чтобы равенство $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ$ выполнялось при условии, что каждый из углов не превышает $90^\circ$, необходимо, чтобы каждое из слагаемых было равно $90^\circ$. То есть:

$\alpha_1 = 90^\circ, \alpha_2 = 90^\circ, \alpha_3 = 90^\circ, \alpha_4 = 90^\circ$.

В этом случае все углы четырехугольника оказываются равными друг другу. Однако это противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что "не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу".

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, если не все углы выпуклого четырехугольника равны, то хотя бы один из них обязательно должен быть тупым.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.