Номер 429, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 429, страница 114.

Условие.

429 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $180^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, который мы обозначим как ABCD. По условию задачи, сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $180^{\circ}$. Выберем в качестве этих двух смежных сторон AB и BC.

1. Рассмотрим сторону AB. Прилежащие к ней углы — это $\angle A$ и $\angle B$. Согласно условию, их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых AD и BC секущей AB. Поскольку сумма этих углов равна $180^{\circ}$, то по признаку параллельности двух прямых, прямые AD и BC параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

2. Рассмотрим сторону BC. Прилежащие к ней углы — это $\angle B$ и $\angle C$. Согласно условию, их сумма также равна $180^{\circ}$:

$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$

Углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых AB и DC секущей BC. Поскольку сумма этих углов равна $180^{\circ}$, то прямые AB и DC параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD обе пары противолежащих сторон параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.