Номер 433, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 433, страница 115.

Условие.

433. Из вершины $B$ ромба $ABCD$ проведены перпендикуляры $BK$ и $BM$ к прямым $AD$ и $DC$. Докажите, что луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$, нам необходимо доказать равенство углов $\angle KBD$ и $\angle MBD$. Мы сделаем это, доказав равенство треугольников $\triangle KBD$ и $\triangle MBD$.

1. Доказательство равенства отрезков $BK$ и $BM$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$.

• $AB = BC$, так как все стороны ромба равны. Эти стороны являются гипотенузами в данных треугольниках.
• $\angle A = \angle C$, так как противоположные углы ромба равны. В случае, если эти углы тупые и перпендикуляры опущены на продолжения сторон, то рассматриваются углы, смежные с углами ромба, которые также будут равны между собой ($\angle KAB = 180^\circ - \angle DAB$ и $\angle MCB = 180^\circ - \angle DCB$). Таким образом, острые углы $\angle KAB$ и $\angle MCB$ в этих треугольниках всегда равны.
• $\angle BKA = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$ по условию, так как $BK$ и $BM$ — перпендикуляры к прямым $AD$ и $DC$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BK = BM$ и $AK = CM$.

2. Доказательство равенства отрезков $KD$ и $MD$

Расположение точек $K$ и $M$ зависит от того, являются ли углы $A$ и $C$ ромба острыми или тупыми.

• Случай 1: Угол $A$ острый. В этом случае основание перпендикуляра $K$ лежит на стороне $AD$, а основание $M$ — на стороне $DC$. Длины отрезков вычисляются как $KD = AD - AK$ и $MD = DC - CM$.
• Случай 2: Угол $A$ тупой. В этом случае перпендикуляры опускаются на продолжения сторон, то есть точка $K$ лежит на продолжении $AD$ за точку $A$, а $M$ — на продолжении $DC$ за точку $C$. Длины отрезков вычисляются как $KD = AD + AK$ и $MD = DC + CM$.

В ромбе стороны равны, то есть $AD = DC$. Из пункта 1 мы доказали, что $AK = CM$. В обоих случаях, подставляя равные величины в выражения для $KD$ и $MD$, мы получаем, что $KD = MD$.

3. Доказательство равенства треугольников $\triangle KBD$ и $\triangle MBD$

Теперь сравним треугольники $\triangle KBD$ и $\triangle MBD$.

• $BK = BM$ (доказано в пункте 1).
• $KD = MD$ (доказано в пункте 2).
• $BD$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle KBD \cong \triangle MBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle KBD = \angle MBD$. Это по определению означает, что луч $BD$ делит угол $KBM$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Что и требовалось доказать.