Номер 437, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 437, страница 115.

Условие.

437. На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $M$ так, что $AM = AB$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная к прямой $AC$ и пересекающая $BC$ в точке $H$. Докажите, что $BH = HM = MC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что $BH=HM=MC$.

Доказательство можно разделить на две части: сначала докажем, что $HM = MC$, а затем, что $BH = HM$.

1. Доказательство равенства $HM = MC$.

Рассмотрим треугольник $HMC$. По условию, прямая $HM$ перпендикулярна прямой $AC$. Поскольку точки $M$ и $C$ лежат на прямой $AC$, угол $\angle HMC$ является прямым, то есть $\angle HMC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle HMC$ — прямоугольный.

В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$. Так как угол квадрата $\angle BCD = 90^\circ$, то $\angle BCA = 45^\circ$. В треугольнике $HMC$ этот угол — $\angle MCH$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для $\triangle HMC$ получаем: $\angle MHC = 90^\circ - \angle MCH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в $\triangle HMC$ два угла равны ($\angle MHC = \angle MCH = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $HM = MC$.

2. Доказательство равенства $BH = HM$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = a$. Длина диагонали $AC$ в квадрате со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

По условию задачи $AM = AB$, следовательно, $AM = a$.

Теперь мы можем найти длину отрезка $MC$: $MC = AC - AM = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2} - 1)$.

Из первой части доказательства мы знаем, что $HM = MC$, поэтому $HM = a(\sqrt{2} - 1)$.

Теперь найдем длину отрезка $BH$. Точка $H$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BH = BC - HC = a - HC$. Чтобы найти $BH$, нам нужно вычислить длину $HC$.

В прямоугольном треугольнике $HMC$, по теореме Пифагора, $HC^2 = HM^2 + MC^2$. Так как $HM = MC$, то $HC^2 = 2MC^2$, откуда $HC = MC\sqrt{2}$.

Подставим найденное выражение для $MC$: $HC = (a(\sqrt{2} - 1))\sqrt{2} = a(2 - \sqrt{2})$.

Теперь вычислим $BH$: $BH = a - HC = a - a(2 - \sqrt{2}) = a - 2a + a\sqrt{2} = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2} - 1)$.

Сравнивая полученные выражения для $BH$ и $HM$, получаем: $BH = a(\sqrt{2} - 1)$ $HM = a(\sqrt{2} - 1)$ Следовательно, $BH = HM$.

Объединяя результаты обеих частей доказательства ($HM = MC$ и $BH = HM$), мы приходим к выводу, что $BH = HM = MC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BH = HM = MC$ доказано.