Номер 441, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 441, страница 115.

Условие.

441 Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Его диагонали — $AC$ и $BD$. Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Необходимо доказать, что прямые, на которых лежат диагонали $AC$ и $BD$, являются осями симметрии ромба.

Доказательство для диагонали AC

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $AC$. Поскольку точки $A$ и $C$ лежат на этой прямой, при симметрии они отображаются сами в себя. Нам нужно показать, что при этой симметрии вершина $B$ отображается в вершину $D$, и наоборот.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. В этих треугольниках сторона $AC$ является общей, а стороны $AB$ и $AD$, а также $BC$ и $CD$ попарно равны как стороны ромба. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует, что точка $D$ является симметричным отражением точки $B$ относительно прямой $AC$. Это можно показать и через свойства диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда $BO = DO$. Это означает, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. По определению осевой симметрии, точка $D$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$.

Итак, при симметрии относительно прямой $AC$ вершины ромба отображаются следующим образом: $A \to A$, $C \to C$, $B \to D$ и $D \to B$. Это значит, что ромб $ABCD$ отображается на ромб $ADCB$, то есть на себя. Следовательно, прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии ромба.

Доказательство для диагонали BD

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $BD$. Точки $B$ и $D$ лежат на этой прямой и отображаются сами в себя. Докажем, что вершина $A$ отображается в вершину $C$.

Аналогично первому случаю, рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Сторона $BD$ у них общая, а стороны $AB$ и $CB$, а также $AD$ и $CD$ попарно равны как стороны ромба. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

По свойству диагоналей ромба, $BD \perp AC$ и $AO = CO$. Это означает, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Следовательно, точка $C$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BD$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $BD$ вершины ромба отображаются следующим образом: $B \to B$, $D \to D$, $A \to C$ и $C \to A$. Ромб $ABCD$ отображается на ромб $CBAD$, то есть на себя. Следовательно, прямая, содержащая диагональ $BD$, также является осью симметрии ромба.

Мы доказали, что прямые, содержащие обе диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Ответ: Утверждение доказано. При отражении относительно прямой, содержащей любую из его диагоналей, ромб переходит сам в себя, что по определению означает, что эти прямые являются его осями симметрии.