Номер 445, страница 121 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. §1. Площадь многоугольника - номер 445, страница 121.

Условие.

445 □ Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треуголь- ника и составьте из них:

а) равнобедренный треугольник;

б) прямоугольник;

в) параллелограмм, отличный от прямо- угольника. Сравните площади полученных фигур.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть у нас есть два равных прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\text{тр}} = \frac{1}{2}ab$.

а)Чтобы составить равнобедренный треугольник, нужно приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из равных катетов. Например, соединим их по катету $a$.

В результате получится треугольник, у которого две стороны равны гипотенузам $c$ исходных треугольников, а основание равно сумме катетов $b$, то есть $2b$. Так как у полученного треугольника две стороны равны ($c=c$), он является равнобедренным.

Площадь полученного равнобедренного треугольника будет равна сумме площадей двух исходных прямоугольных треугольников:$S_{\text{равноб. тр.}} = S_{\text{тр}} + S_{\text{тр}} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: равнобедренный треугольник можно получить, соединив два равных прямоугольных треугольника по одному из их равных катетов.

б)Чтобы составить прямоугольник, нужно приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по гипотенузе. При этом один треугольник нужно повернуть на 180 градусов относительно другого.

В результате получится четырехугольник со сторонами, равными катетам $a$ и $b$ исходных треугольников, и всеми прямыми углами. Это и есть прямоугольник.

Площадь полученного прямоугольника будет равна сумме площадей двух исходных треугольников:$S_{\text{прямоуг.}} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: прямоугольник можно получить, соединив два равных прямоугольных треугольника по их гипотенузам.

в)Чтобы составить параллелограмм, отличный от прямоугольника, нужно приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из катетов (например, по катету $a$), повернув один из них на 180 градусов.

В результате получится параллелограмм, смежные стороны которого будут равны катету $b$ и гипотенузе $c$ исходных треугольников. Углы этого параллелограмма не будут прямыми (если только исходный треугольник не был вырожденным), следовательно, он не является прямоугольником.

Площадь полученного параллелограмма также будет равна сумме площадей двух исходных треугольников:$S_{\text{парал.}} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно получить, соединив два равных прямоугольных треугольника по одному из их равных катетов, предварительно повернув один из треугольников на 180 градусов.

Сравнение площадей

Площадь равнобедренного треугольника: $S_{\text{а}} = ab$.
Площадь прямоугольника: $S_{\text{б}} = ab$.
Площадь параллелограмма: $S_{\text{в}} = ab$.

Сравнивая площади, получаем: $S_{\text{а}} = S_{\text{б}} = S_{\text{в}}$.

Ответ: площади всех трех полученных фигур равны, так как каждая из них составлена из одних и тех же двух равных прямоугольных треугольников.