Номер 439, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 439, страница 115.

Условие.

439* □ Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90^\circ$. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Пусть M и N — середины оснований BC и AD соответственно. По условию, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Не нарушая общности, предположим, что это большее основание AD, то есть $\angle DAB + \angle CDA = 90^\circ$. Требуется доказать, что длина отрезка MN равна полуразности оснований: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.

Доказательство:

1. Продлим боковые стороны AB и CD трапеции до их пересечения в точке K. Так как $\angle DAB + \angle CDA = 90^\circ < 180^\circ$, эти стороны пересекутся со стороны меньшего основания BC.

2. Рассмотрим полученный треугольник AKD. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AKD + \angle KAD + \angle KDA = 180^\circ$. Углы $\angle KAD$ и $\angle KDA$ являются углами трапеции при основании AD, то есть $\angle KAD = \angle DAB$ и $\angle KDA = \angle CDA$. По условию, их сумма равна $90^\circ$. Следовательно, $\angle AKD + 90^\circ = 180^\circ$, откуда находим, что $\angle AKD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник AKD является прямоугольным.

3. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), треугольник BKC подобен треугольнику AKD по двум углам (угол при вершине K — общий, а углы $\angle KBC$ и $\angle KAD$ равны как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AK). Из подобия следует, что треугольник BKC также является прямоугольным с прямым углом при вершине K.

4. В прямоугольном треугольнике AKD отрезок KN соединяет вершину прямого угла K с серединой гипотенузы AD. Следовательно, KN является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы: $KN = \frac{AD}{2}$.

5. Аналогично, в прямоугольном треугольнике BKC отрезок KM является медианой, проведенной к гипотенузе BC. Его длина равна половине длины гипотенузы BC: $KM = \frac{BC}{2}$.

6. Медианы KM и KN в подобных треугольниках BKC и AKD, проведенные из общей вершины K, лежат на одной прямой. Следовательно, точки K, M, N коллинеарны, и точка M лежит между K и N.

7. Длину отрезка MN можно найти как разность длин отрезков KN и KM: $MN = KN - KM$.

8. Подставив выражения для KN и KM, полученные ранее, получаем: $MN = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.

Утверждение доказано. Если бы сумма углов в $90^\circ$ была при меньшем основании BC, доказательство было бы аналогичным, но точка пересечения боковых сторон находилась бы с другой стороны от трапеции.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, действительно равен их полуразности.