Номер 435, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 435, страница 115.

Условие.

435 Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами средней линии треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем вершину $A$. Пусть $E$ и $F$ — середины двух других сторон, $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине, то есть $EF \parallel BC$ и $EF = \frac{1}{2}BC$.

Возьмём произвольную точку $D$ на стороне $BC$. Проведём отрезок $AD$ и обозначим его середину точкой $M$. Нам необходимо доказать, что точка $M$ лежит на отрезке $EF$.

1. Докажем, что точка M лежит на прямой EF.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $EM$ соединяет середины сторон $AB$ (точка $E$) и $AD$ (точка $M$). Следовательно, $EM$ — средняя линия треугольника $ABD$.

По свойству средней линии, $EM \parallel BD$. Так как точка $D$ лежит на прямой $BC$, то прямая $BD$ совпадает с прямой $BC$. Значит, $EM \parallel BC$.

Итак, мы имеем, что прямая $EM$ проходит через точку $E$ и параллельна $BC$. Прямая $EF$ также проходит через точку $E$ и параллельна $BC$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые $EM$ и $EF$ совпадают, а это означает, что точка $M$ лежит на прямой $EF$.

2. Докажем, что точка M лежит именно на отрезке EF.

Поскольку $EM$ — средняя линия $\triangle ABD$, её длина равна $EM = \frac{1}{2}BD$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $MF$ соединяет середины сторон $AD$ (точка $M$) и $AC$ (точка $F$). Следовательно, $MF$ — средняя линия треугольника $ACD$. Отсюда следует, что $MF = \frac{1}{2}CD$.

Так как точки $E, M, F$ лежат на одной прямой, то длина отрезка $EF$ равна сумме длин отрезков $EM$ и $MF$, если $M$ лежит между $E$ и $F$. Проверим это:

$EM + MF = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BD + CD)$

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BC$, то $BD + CD = BC$.

Значит, $EM + MF = \frac{1}{2}BC$.

Мы знаем, что длина средней линии $EF$ также равна $\frac{1}{2}BC$.

Получаем, что $EF = EM + MF$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит на отрезке $EF$ между точками $E$ и $F$.

Таким образом, доказано, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Ответ: Утверждение доказано.