Номер 430, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 430, страница 115.

Условие.

430 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны. Обозначим его вершины как A, B, C, D. Тогда по условию $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Известно, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника составляет $360^\circ$. Запишем это для нашего четырёхугольника ABCD:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Используя условие, что $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, заменим в этой формуле углы $\angle C$ и $\angle D$ на равные им $\angle A$ и $\angle B$:
$\angle A + \angle B + \angle A + \angle B = 360^\circ$
$2(\angle A + \angle B) = 360^\circ$
Разделим обе части равенства на 2:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$

Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при прямых AD и BC и секущей AB. Так как их сумма равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Аналогично, в равенстве $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ можно заменить $\angle B$ на $\angle D$ и $\angle C$ на $\angle A$:
$\angle A + \angle D + \angle A + \angle D = 360^\circ$
$2(\angle A + \angle D) = 360^\circ$
$\angle A + \angle D = 180^\circ$

Углы $\angle A$ и $\angle D$ являются внутренними односторонними углами при прямых AB и DC и секущей AD. Так как их сумма равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямые AB и DC параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Мы установили, что в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). Согласно определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.