Номер 427, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 427, страница 114.

Условие.

427 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:
Равнобедренный треугольник $△ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$, то есть $AB = BC$.
Точка $D$ — произвольная точка на основании $AC$ ($D \in AC$).
Через точку $D$ проведены две прямые:

• прямая, параллельная стороне $AB$, пересекающая сторону $BC$ в точке $E$ ($DE || AB$);
• прямая, параллельная стороне $BC$, пересекающая сторону $AB$ в точке $F$ ($DF || BC$).

В результате построен четырёхугольник $FBED$.

Доказать:
Периметр четырёхугольника $FBED$ равен сумме боковых сторон треугольника $ABC$, то есть $P_{FBED} = AB + BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник $FBED$. По построению, его противолежащие стороны параллельны: $DE || AB$ (значит $DE || FB$) и $DF || BC$ (значит $DF || BE$). Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $FBED$ — параллелограмм.

2. Так как треугольник $△ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA$.

3. Рассмотрим треугольник $△AFD$. Так как $DF || BC$, то углы $∠ADF$ и $∠BCA$ являются соответственными при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, $∠ADF = ∠BCA$. Поскольку $∠BAC = ∠BCA$ (из п.2) и $∠ADF = ∠BCA$, то $∠BAC = ∠ADF$. Таким образом, в треугольнике $△AFD$ два угла ($∠FAD$ и $∠ADF$) равны, а значит, он является равнобедренным с основанием $FD$. Отсюда следует, что $AF = DF$.

4. Рассмотрим треугольник $△DEC$. Так как $DE || AB$, то углы $∠EDC$ и $∠BAC$ являются соответственными при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$. Следовательно, $∠EDC = ∠BAC$. Поскольку $∠BCA = ∠BAC$ (из п.2) и $∠EDC = ∠BAC$, то $∠BCA = ∠EDC$. Таким образом, в треугольнике $△DEC$ два угла ($∠DCE$ и $∠EDC$) равны, а значит, он является равнобедренным с основанием $DC$. Отсюда следует, что $EC = DE$.

5. Периметр параллелограмма $FBED$ вычисляется по формуле: $P_{FBED} = FB + BE + ED + DF$. Заменим в этой формуле отрезки $DF$ и $ED$ на равные им отрезки из п.3 и п.4: $DF = AF$ $ED = EC$ Получим: $P_{FBED} = FB + BE + EC + AF$.

6. Сгруппируем слагаемые: $P_{FBED} = (AF + FB) + (BE + EC)$. Сумма отрезков $AF + FB$ составляет сторону $AB$, а сумма отрезков $BE + EC$ составляет сторону $BC$. Следовательно, $P_{FBED} = AB + BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Периметр получившегося четырёхугольника действительно равен сумме боковых сторон данного треугольника, так как он представляет собой параллелограмм, части сторон которого дополняют друг друга до длин боковых сторон исходного треугольника благодаря свойствам равнобедренных треугольников, образующихся при построении.