Номер 432, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 432, страница 115.

Условие.

432. Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AD$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что прямые $AN$ и $MC$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$M$ — середина стороны $AD$.
$N$ — середина стороны $BC$.
Пусть прямая $AN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$, а прямая $MC$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$.

Доказать:

$BP = PQ = QD$.

Доказательство:

1. Сначала докажем, что четырехугольник $AMCN$ является параллелограммом. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны и равны, то есть $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.

По условию, $M$ — середина $AD$, поэтому $AM = \frac{1}{2} AD$. Аналогично, $N$ — середина $BC$, поэтому $NC = \frac{1}{2} BC$. Так как $AD = BC$, следует, что $AM = NC$.

Отрезки $AM$ и $NC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$ соответственно, следовательно, $AM \parallel NC$.

В четырехугольнике $AMCN$ две противолежащие стороны ($AM$ и $NC$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, $AMCN$ является параллелограммом. Из этого следует, что другие его противолежащие стороны также параллельны: $AN \parallel MC$.

2. Теперь рассмотрим треугольники, образованные на диагонали $BD$.

Рассмотрим $\triangle APD$. В нем $M$ — середина стороны $AD$ (по условию). Прямая $MQ$ является частью прямой $MC$, которая параллельна прямой $AN$ (и, соответственно, отрезку $AP$). По теореме Фалеса (или по свойству о прямой, проходящей через середину стороны треугольника параллельно другой стороне), прямая $MQ$ пересекает сторону $DP$ в ее середине. Следовательно, точка $Q$ является серединой отрезка $DP$, откуда получаем $DQ = QP$.

Аналогично рассмотрим $\triangle CBQ$. В нем $N$ — середина стороны $BC$ (по условию). Прямая $NP$ является частью прямой $AN$, которая параллельна прямой $MC$ (и, соответственно, отрезку $CQ$). По той же теореме, примененной к $\triangle CBQ$, прямая $NP$ пересекает сторону $BQ$ в ее середине. Следовательно, точка $P$ является серединой отрезка $BQ$, откуда получаем $BP = PQ$.

3. Сопоставим полученные результаты.

Из равенства $DQ = QP$ и $BP = PQ$ следует, что все три отрезка равны между собой: $BP = PQ = QD$.

Таким образом, прямые $AN$ и $MC$ делят диагональ $BD$ на три равные части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AN$ и $MC$ делят диагональ $BD$ на три равные части ($BP=PQ=QD$).