Номер 428, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 428, страница 114.

Условие.

428 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, смежные стороны которого не равны ($AB \neq BC$). Проведем биссектрисы всех его внутренних углов. Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $L$, биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $M$, и биссектрисы углов $D$ и $A$ — в точке $N$. Образовавшийся четырехугольник — $KLMN$. Необходимо доказать, что $KLMN$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, достаточно доказать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим угол четырехугольника $KLMN$ при вершине $K$. Этот угол образован пересечением биссектрис $AK$ и $BK$. Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ это означает:$\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$ или $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Углы этого треугольника при основании $AB$ равны половинам соответствующих углов параллелограмма, так как $AK$ и $BK$ являются биссектрисами:$\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$$\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$

Тогда для третьего угла треугольника, $\angle AKB$, можем записать:$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$Подставим известное значение суммы углов $A$ и $B$:$\angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$Угол $\angle AKB$ является внутренним углом $\angle NKL$ четырехугольника $KLMN$. Таким образом, $\angle NKL = 90^\circ$.

Проводя аналогичные рассуждения для остальных углов четырехугольника $KLMN$, мы получим:

- Для угла при вершине $L$ (пересечение биссектрис углов $B$ и $C$), используя $\triangle BCL$ и свойство $\angle B + \angle C = 180^\circ$, получим $\angle BLC = \angle KLM = 90^\circ$.

- Для угла при вершине $M$ (пересечение биссектрис углов $C$ и $D$), используя $\triangle CDM$ и свойство $\angle C + \angle D = 180^\circ$, получим $\angle CMD = \angle LMN = 90^\circ$.

- Для угла при вершине $N$ (пересечение биссектрис углов $D$ и $A$), используя $\triangle DAN$ и свойство $\angle D + \angle A = 180^\circ$, получим $\angle DNA = \angle MNK = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла четырехугольника $KLMN$ равны $90^\circ$, по определению он является прямоугольником. Условие о неравенстве смежных сторон гарантирует, что параллелограмм не является ромбом, в котором все биссектрисы пересекаются в одной точке, и фигура, образованная их пересечением, вырождается в точку.

Ответ: Все углы четырехугольника, образованного пересечением биссектрис, являются прямыми, так как каждый из них вычисляется как $180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.