Номер 431, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 431, страница 115.

Условие.

431 Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что

$AD = \frac{1}{3} AC$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Дано:
$\triangle ABC$
$AM$ — медиана ($BM=MC$)
$K$ — середина $AM$ ($AK=KM$)
Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $D$.

Доказать:
$AD = \frac{1}{3}AC$

Доказательство:

1. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $BD$, которая пересечет сторону $AC$ в точке $E$. Таким образом, по построению $ME \parallel BD$.

2. Рассмотрим $\triangle AME$.
По условию $K$ — середина стороны $AM$. Так как $D$ лежит на прямой $BK$ и $E$ лежит на прямой $ME$, а $BD \parallel ME$, то $KD \parallel ME$.
Согласно теореме Фалеса (или свойству средней линии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. В $\triangle AME$ прямая $KD$ проходит через середину $K$ стороны $AM$ и параллельна стороне $ME$. Следовательно, точка $D$ является серединой стороны $AE$.
Таким образом, $AD = DE$.

3. Теперь рассмотрим $\triangle CBD$.
По условию $M$ — середина стороны $BC$. По построению $ME \parallel BD$.
Следовательно, отрезок $ME$ является средней линией $\triangle CBD$.
По свойству средней линии, она делит сторону, которую пересекает, пополам. Значит, точка $E$ является серединой стороны $CD$.
Таким образом, $DE = EC$.

4. Из полученных равенств $AD = DE$ и $DE = EC$ следует, что $AD = DE = EC$.
Длина стороны $AC$ равна сумме длин составляющих ее отрезков: $AC = AD + DE + EC$.
Заменив $DE$ и $EC$ на $AD$, получаем: $AC = AD + AD + AD = 3AD$.
Отсюда выразим $AD$: $AD = \frac{1}{3}AC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $AD = \frac{1}{3}AC$ доказано.