Номер 438, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 438, страница 115.

Условие.

438 В трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ диагональ $AC$ перпендикулярна к боковой стороне $CD$, $\angle BAC = \angle CAD$. Найдите $AD$, если периметр трапеции равен $20$ см, а $\angle D = 60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано: трапеция $ABCD$, $AD$ — большее основание, $AC \perp CD$, $\angle BAC = \angle CAD$, $P_{ABCD} = 20$ см, $\angle D = 60^{\circ}$.
Найти: $AD$.

Решение:

1. Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Тогда углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle CAD = \angle BCA$.

2. По условию задачи $\angle BAC = \angle CAD$. Из этого и предыдущего пункта следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

3. В треугольнике $ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что боковые стороны этого треугольника равны: $AB = BC$.

4. Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию $AC \perp CD$, значит, $\angle ACD = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ACD$ — прямоугольный. Нам также известно, что $\angle D = 60^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle D = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

5. Так как $\angle BAC = \angle CAD$, то $\angle BAC$ также равен $30^{\circ}$. Тогда полный угол трапеции при вершине $A$ равен:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

6. Мы получили, что углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$ равны: $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$. Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной. Значит, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$.

7. Объединим полученные равенства сторон: из пункта 3 мы знаем, что $AB = BC$, а из пункта 6 — что $AB = CD$. Следовательно, $AB = BC = CD$.

8. Вернемся к прямоугольному треугольнику $ACD$. Катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD = 30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является основание $AD$. Таким образом, $CD = \frac{1}{2}AD$.

9. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 20$ см. Используя равенства из пунктов 7 и 8, выразим все стороны через $AD$. Пусть $AD = x$. Тогда:
$CD = \frac{x}{2}$
$AB = CD = \frac{x}{2}$
$BC = AB = \frac{x}{2}$
Подставим эти выражения в формулу периметра:
$\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + x = 20$
$\frac{3x}{2} + x = 20$
$\frac{3x}{2} + \frac{2x}{2} = 20$
$\frac{5x}{2} = 20$
$5x = 40$
$x = 8$ см.

Таким образом, длина большего основания $AD$ равна 8 см.
Ответ: 8 см.