Номер 444, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 444, страница 115.

Условие.

444* Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана фигура $F$, которая имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $O$ является точкой пересечения этих осей.

Нам необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. По определению, это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$, точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, также должна принадлежать фигуре $F$.

Для доказательства введем на плоскости прямоугольную (декартову) систему координат. Расположим начало координат в точке $O$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль прямой $l_1$, а ось ординат ($Oy$) — вдоль прямой $l_2$. Поскольку $l_1 \perp l_2$, это возможно.

Возьмем произвольную точку $A$ с координатами $(x, y)$, которая принадлежит фигуре $F$.

1. Так как прямая $l_1$ (ось $Ox$) является осью симметрии фигуры $F$, то точка $A_1$, симметричная точке $A$ относительно оси $Ox$, также принадлежит фигуре $F$. Координаты точки, симметричной $(x, y)$ относительно оси $Ox$, равны $(x, -y)$. Таким образом, точка $A_1(x, -y)$ принадлежит $F$.

2. Теперь рассмотрим точку $A_1(x, -y)$, которая, как мы установили, принадлежит фигуре $F$. Так как прямая $l_2$ (ось $Oy$) также является осью симметрии фигуры $F$, то точка $A'$, симметричная точке $A_1$ относительно оси $Oy$, тоже принадлежит фигуре $F$. Координаты точки, симметричной $(x, -y)$ относительно оси $Oy$, равны $(-x, -y)$. Таким образом, точка $A'(-x, -y)$ принадлежит $F$.

Мы получили, что если точка $A(x, y)$ принадлежит фигуре $F$, то точка $A'(-x, -y)$ также принадлежит фигуре $F$.

Точка с координатами $(-x, -y)$ является точкой, симметричной точке с координатами $(x, y)$ относительно начала координат $O(0, 0)$.

Таким образом, мы доказали, что для любой точки $A$ фигуры $F$ симметричная ей относительно точки $O$ точка $A'$ также принадлежит фигуре $F$. Это по определению означает, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$.

Ответ: Утверждение доказано. Если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.