Номер 447, страница 121 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. §1. Площадь многоугольника - номер 447, страница 121.

Условие.

447 Начертите параллелограмм $ABCD$ и отметьте точку $M$, симметричную точку $D$ относительно точки $C$. Докажите, что $S_{ABCD} = S_{AMD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Построим точку $M$, симметричную точке $D$ относительно точки $C$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $DM$, и точки $D$, $C$, $M$ лежат на одной прямой. Таким образом, $DC = CM$, и, следовательно, $DM = DC + CM = 2 \cdot DC$.

Доказательство:

Докажем равенство площадей $S_{ABCD} = S_{AMD}$ через формулы площадей параллелограмма и треугольника.

1. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна произведению его основания на высоту. Примем за основание сторону $DC$ и проведем к ней (или к ее продолжению) высоту $h$ из вершины $A$. Тогда площадь параллелограмма будет:

$S_{ABCD} = DC \cdot h$

2. Площадь треугольника $AMD$ равна половине произведения его основания на высоту. Примем за основание сторону $DM$. Так как точки $D$, $C$, $M$ лежат на одной прямой, высота, проведенная из вершины $A$ к основанию $DM$, будет той же самой высотой $h$, что и для параллелограмма.

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot h$

3. Как мы установили из условия симметрии, $DM = 2 \cdot DC$. Подставим это в формулу для площади треугольника $AMD$:

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot DC) \cdot h = DC \cdot h$

4. Сравнивая полученные выражения для площадей, видим, что:

$S_{ABCD} = DC \cdot h$

$S_{AMD} = DC \cdot h$

Следовательно, $S_{ABCD} = S_{AMD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей $S_{ABCD} = S_{AMD}$ доказано.