Номер 453, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. §1. Площадь многоугольника - номер 453, страница 122.

Условие.

453 ☐ Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза;

б) каждую сторону увеличить в два раза;

в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть первоначальный прямоугольник имеет стороны длиной $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b$
Рассмотрим, как изменится площадь в каждом из предложенных случаев.

а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза;
Пусть одну пару противоположных сторон (например, стороны длиной $a$) увеличили в два раза. Тогда новая длина этих сторон станет $2a$. Длина другой пары сторон ($b$) останется без изменений.
Новая площадь прямоугольника, обозначим ее $S_1$, будет равна произведению новых сторон:
$S_1 = (2a) \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b)$
Поскольку $a \cdot b = S$, то $S_1 = 2S$.
Следовательно, площадь прямоугольника увеличится в два раза.
Ответ: площадь увеличится в два раза.

б) каждую сторону увеличить в два раза;
В этом случае обе пары противоположных сторон увеличиваются в два раза. Новые длины сторон будут равны $2a$ и $2b$.
Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b)$
Так как $a \cdot b = S$, то $S_2 = 4S$.
Следовательно, площадь прямоугольника увеличится в четыре раза.
Ответ: площадь увеличится в четыре раза.

в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?
Пусть одну пару сторон (длиной $a$) увеличили в два раза, а другую пару сторон (длиной $b$) уменьшили в два раза. Новые длины сторон будут равны $2a$ и $\frac{b}{2}$.
Найдем новую площадь $S_3$:
$S_3 = (2a) \cdot \frac{b}{2} = \frac{2}{2} \cdot (a \cdot b) = 1 \cdot (a \cdot b)$
Поскольку $a \cdot b = S$, то $S_3 = S$.
Следовательно, площадь прямоугольника не изменится.
Ответ: площадь не изменится.