Номер 448, страница 121 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. §1. Площадь многоугольника - номер 448, страница 121.

Условие.

448 На стороне $AD$ прямоугольника $ABCD$ построен треугольник $ADE$ так, что его стороны $AE$ и $DE$ пересекают отрезок $BC$ в точках $M$ и $N$, причём точка $M$ — середина отрезка $AE$. Докажите, что $S_{ABCD}=S_{ADE}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $ADE$ вычисляется по формуле: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, где $h$ — это высота, опущенная из вершины $E$ на сторону $AD$.

Для того чтобы доказать равенство площадей $S_{ABCD} = S_{ADE}$, необходимо показать, что $AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, что равносильно утверждению $h = 2 \cdot AB$.

Доказательство:

Проведем высоту $EH$ из точки $E$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длина этой высоты и есть $h$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Расстояние между этими параллельными прямыми равно длине боковой стороны, то есть $AB$.

Так как стороны $AE$ и $DE$ треугольника $ADE$ пересекают отрезок $BC$, то вершина $E$ и сторона $AD$ находятся по разные стороны от прямой $BC$. Это означает, что высота $EH$ пересекает прямую $BC$. Обозначим точку пересечения высоты $EH$ с прямой $BC$ как $K$.

Тогда высота $h$ треугольника $ADE$ может быть представлена как сумма двух отрезков: $h = EH = EK + KH$. Отрезок $KH$ — это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, следовательно, $KH = AB$. Таким образом, $h = EK + AB$.

Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что $EK = AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle EKM$. Сторона $AB$ прямоугольника перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$). Высота $EK$ по определению также перпендикулярна прямой $BC$ ($EK \perp BC$). Отсюда следует, что прямые $AB$ и $EK$ параллельны ($AB \parallel EK$).

Рассмотрим эти параллельные прямые $AB$ и $EK$ и секущую $AE$.

• $AM = ME$ по условию задачи, так как точка $M$ — середина отрезка $AE$.
• $\angle BAM = \angle KEM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $EK$ и секущей $AE$.
• $\angle AMB = \angle KME$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle EKM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = EK$.

Теперь мы можем найти высоту $h$ треугольника $ADE$: $h = EK + AB = AB + AB = 2 \cdot AB$.

Подставим полученное значение высоты в формулу площади треугольника $ADE$: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$.

Таким образом, мы получили, что $S_{ADE} = AD \cdot AB$, а поскольку $S_{ABCD} = AD \cdot AB$, то $S_{ABCD} = S_{ADE}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей $S_{ABCD} = S_{ADE}$ доказано.