Номер 442, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 442, страница 115.

Условие.

442 Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.

Центр симметрии фигуры — это точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка $M'$ относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре.

Доказательство:

1. Рассмотрим вершины параллелограмма. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$. Это по определению означает, что точка $C$ симметрична точке $A$ относительно точки $O$. Аналогично, точка $D$ симметрична точке $B$ относительно точки $O$. Таким образом, каждая вершина параллелограмма при симметрии относительно точки $O$ переходит в другую его вершину.

2. Теперь возьмем произвольную точку $M$ на стороне $AB$ и построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. Это значит, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM'$. В них: $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма), $MO = OM'$ (по построению), а $\angle AOM = \angle COM'$ (как вертикальные углы). Таким образом, $\triangle AOM = \triangle COM'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует, что $\angle OAM = \angle OCM'$ (или $\angle BAC = \angle DCA$). Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку стороны $AB$ и $CD$ параллелограмма параллельны, то и точка $M'$ должна лежать на прямой, содержащей сторону $CD$. Также из равенства треугольников следует, что $AM = CM'$. Так как точка $M$ принадлежит отрезку $AB$, то и точка $M'$ будет принадлежать отрезку $CD$.

5. Аналогичное рассуждение можно провести для любой точки на любой другой стороне параллелограмма ($BC$, $CD$ или $DA$). Каждая точка одной стороны будет симметрично отображаться на точку противоположной стороны.

Таким образом, для любой точки, принадлежащей параллелограмму, симметричная ей относительно точки $O$ точка также принадлежит этому параллелограмму. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.