Номер 436, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 436, страница 115.

Условие.

436 Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная к прямой $AC$, пересекает прямые $BC$ и $CD$ соответственно в точках $M$ и $N$. Найдите $MN$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Диагональ $AC = 18,4$ см. Прямая $l$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная прямой $AC$, пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

1. Анализ углов.
В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Поскольку $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle DAC = \angle CAB = 45^\circ$.
По условию, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $AC$. Это означает, что угол между этими прямыми в точке их пересечения $A$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle MAC = 90^\circ$ и $\angle NAC = 90^\circ$.
Теперь найдем углы $\angle MAB$ и $\angle NAD$.
$\angle MAB = \angle MAC - \angle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
$\angle NAD = \angle NAC - \angle DAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

2. Рассмотрение треугольников.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Угол $\angle B$ квадрата равен $90^\circ$. Так как точка $M$ лежит на прямой $BC$, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, и, следовательно, $\angle ABM = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABM$ является прямоугольным.
Мы нашли, что острый угол в этом треугольнике $\angle MAB = 45^\circ$. Следовательно, другой острый угол $\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что $\triangle ABM$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: $AB = BM$.
Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle ADN$. Угол $\angle D$ квадрата равен $90^\circ$. Так как точка $N$ лежит на прямой $CD$, то прямая $AD$ перпендикулярна прямой $CD$, и, следовательно, $\angle ADN = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ADN$ является прямоугольным.
Мы нашли, что острый угол в этом треугольнике $\angle NAD = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ADN$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: $AD = DN$.

3. Нахождение длины $MN$.
Точка $A$ лежит на отрезке $MN$, поэтому длина $MN$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $AN$.
$MN = AM + AN$.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ гипотенузу $AM$ можно найти по теореме Пифагора:
$AM^2 = AB^2 + BM^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$.
$AM = \sqrt{2AB^2} = AB\sqrt{2}$.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle ADN$ гипотенуза $AN$ равна:
$AN^2 = AD^2 + DN^2 = AD^2 + AD^2 = 2AD^2$.
$AN = \sqrt{2AD^2} = AD\sqrt{2}$.
Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB = AD$. Следовательно, $AM = AN$.
Тогда $MN = AM + AN = 2AM = 2AB\sqrt{2}$.

4. Связь с диагональю $AC$.
Диагональ квадрата $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$.
$AC = \sqrt{2AB^2} = AB\sqrt{2}$.
Сравнивая выражения для $MN$ и $AC$, мы видим, что:
$MN = 2 \times (AB\sqrt{2}) = 2 \times AC$.

5. Вычисление.
Подставим данное значение $AC = 18,4$ см:
$MN = 2 \times 18,4 = 36,8$ см.

Ответ: 36,8 см.