Номер 434, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 434, страница 115.

Условие.

434 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Требуется доказать, что точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба, то есть что расстояния от точки $O$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ равны между собой.

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки $O$ перпендикуляры $OH_1$, $OH_2$, $OH_3$ и $OH_4$ к сторонам $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Таким образом, нам нужно доказать, что длины этих перпендикуляров равны: $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4$.

Доказательство основано на рассмотрении треугольников, на которые диагонали делят ромб.

1. По определению ромба, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. По свойству диагоналей ромба, они пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$, $BO = OD$ и $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.
3. Рассмотрим четыре треугольника, образованные диагоналями: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Все они являются прямоугольными.
4. Докажем, что эти треугольники равны. Сравним, например, $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$:
   • $AB = BC$ (как стороны ромба)
   • $AO = OC$ (диагонали делятся пополам)
   • $BO$ — общая сторона
   Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle BOC$ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Аналогично можно доказать, что все четыре треугольника равны между собой: $\triangle AOB \cong \triangle BOC \cong \triangle COD \cong \triangle DOA$.
5. Проведённые нами перпендикуляры $OH_1$, $OH_2$, $OH_3$ и $OH_4$ являются высотами в этих треугольниках, проведёнными из вершины прямого угла к гипотенузе (которая является стороной ромба).
6. Так как треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ равны, то и все их соответствующие элементы равны. В частности, равны их высоты, проведённые к гипотенузам.
7. Отсюда следует, что $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4$.

Мы доказали, что расстояния от точки $O$ до всех сторон ромба равны. Таким образом, точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.