Номер 440, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 440, страница 115.

Условие.

440* □ На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Дан треугольник $ABC$.
На сторонах $AB$ и $AC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$ соответственно.
$AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ ($M$ — середина стороны $BC$).

Доказать:

$EG = 2 \cdot AM$.

Доказательство:

Воспользуемся методом векторов. Примем точку $A$ за начало координат. Тогда $\vec{A} = \vec{0}$. Векторы, соответствующие сторонам треугольника, выходящим из вершины $A$, будут $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Вектор медианы $\vec{AM}$ можно выразить как полусумму векторов, проведенных из той же вершины к концам противоположной стороны: $$ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) $$ Длина медианы $AM$ равна модулю этого вектора: $$ AM = |\vec{AM}| = \frac{1}{2}|\vec{AB} + \vec{AC}| $$

Теперь рассмотрим векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AG}$. Так как $ABDE$ и $ACFG$ — квадраты, построенные вне треугольника, то векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AG}$ получаются из векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ путем поворота на $90^\circ$. Если считать поворот против часовой стрелки положительным, то вектор $\vec{AE}$ получается поворотом вектора $\vec{AB}$ на $90^\circ$, а вектор $\vec{AG}$ — поворотом вектора $\vec{AC}$ на $-90^\circ$ (или на $270^\circ$).

Найдем вектор $\vec{EG}$, соединяющий концы сторон квадратов: $$ \vec{EG} = \vec{AG} - \vec{AE} $$

Обозначим оператор поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки как $R_{90^\circ}$. Тогда: $$ \vec{AE} = R_{90^\circ}(\vec{AB}) $$ $$ \vec{AG} = R_{-90^\circ}(\vec{AC}) $$ Поскольку поворот на $-90^\circ$ — это то же самое, что и отрицание поворота на $90^\circ$, можно записать: $$ \vec{AG} = -R_{90^\circ}(\vec{AC}) $$

Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{EG}$: $$ \vec{EG} = -R_{90^\circ}(\vec{AC}) - R_{90^\circ}(\vec{AB}) = -(R_{90^\circ}(\vec{AB}) + R_{90^\circ}(\vec{AC})) $$ Поскольку поворот является линейным преобразованием ($R(u+v) = R(u)+R(v)$), получаем: $$ \vec{EG} = -R_{90^\circ}(\vec{AB} + \vec{AC}) $$

Теперь найдем длину отрезка $EG$, которая равна модулю вектора $\vec{EG}$: $$ EG = |\vec{EG}| = |-R_{90^\circ}(\vec{AB} + \vec{AC})| $$ Поворот является изометрией, то есть сохраняет длины векторов ($|R_{90^\circ}(\vec{v})| = |\vec{v}|$), а модуль вектора не зависит от его знака ($|-\vec{v}| = |\vec{v}|$). Следовательно: $$ EG = |\vec{AB} + \vec{AC}| $$

Сравним полученное выражение для $EG$ с выражением для длины медианы $AM$: $$ AM = \frac{1}{2}|\vec{AB} + \vec{AC}| \implies |\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot AM $$ Таким образом, мы получаем: $$ EG = 2 \cdot AM $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длина отрезка $EG$ в два раза больше длины медианы $AM$.