Номер 454, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. §1. Площадь многоугольника - номер 454, страница 122.

Условие.

454. Найдите стороны прямоугольника, если:

а) его площадь равна $250 \text{ см}^2$, а одна сторона в $2,5$ раза больше другой;

б) его площадь равна $9 \text{ м}^2$, а периметр равен $12 \text{ м}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть одна (меньшая) сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона в 2,5 раза больше, следовательно, её длина составляет $2.5x$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot b$. В нашем случае $a = x$ и $b = 2.5x$. Площадь известна и равна 250 см². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (2.5x) = 250$

$2.5x^2 = 250$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 2.5:

$x^2 = \frac{250}{2.5}$

$x^2 = 100$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{100} = 10$

(Мы берем только положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной).

Итак, одна сторона равна 10 см. Найдем вторую сторону:

$2.5 \cdot 10 = 25$ см.

Стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

Ответ: 10 см и 25 см.

б)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Нам известны его площадь $S = 9$ м² и периметр $P = 12$ м.

Используем формулы площади и периметра прямоугольника:

$S = a \cdot b$

$P = 2(a+b)$

Подставим известные значения и составим систему уравнений:

$\{ \begin{array}{l} a \cdot b = 9 \\ 2(a+b) = 12 \end{array}$

Упростим второе уравнение, разделив обе части на 2:

$a+b = \frac{12}{2}$

$a+b = 6$

Теперь система выглядит так:

$\{ \begin{array}{l} a \cdot b = 9 \\ a+b = 6 \end{array}$

Выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Например, $b$ через $a$:

$b = 6 - a$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a(6-a) = 9$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$6a - a^2 = 9$

$a^2 - 6a + 9 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$:

$(a-3)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:

$a-3 = 0 \implies a = 3$

Итак, одна сторона равна 3 м. Найдем вторую сторону:

$b = 6 - a = 6 - 3 = 3$ м.

Обе стороны прямоугольника равны 3 м, то есть это квадрат.

Ответ: 3 м и 3 м.