Номер 426, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 426, страница 114.

Условие.

426. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм ABCD. Пусть его стороны равны 10 см и 3 см. Обозначим большую сторону $AD = 10$ см, а меньшую сторону $AB = 3$ см. Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 10$ см и $CD = AB = 3$ см.

По условию, из углов, прилежащих к большей стороне $AD$ (это углы $\angle A$ и $\angle D$), проведены биссектрисы. Они пересекают противоположную сторону $BC$ и делят ее на три отрезка. Пусть биссектриса угла $\angle A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а биссектриса угла $\angle D$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

Рассмотрим действие биссектрисы $AK$. Поскольку $AD$ и $BC$ — параллельные стороны параллелограмма, а $AK$ — секущая, то углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны как накрест лежащие. Так как $AK$ является биссектрисой угла $\angle A$, то $\angle BAK = \angle DAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.
В треугольнике $ABK$ два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), следовательно, треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$. Значит, его боковые стороны $AB$ и $BK$ равны. Таким образом, $BK = AB = 3$ см.

Теперь рассмотрим действие биссектрисы $DM$. Аналогично, поскольку $AD \parallel BC$, а $DM$ — секущая, то углы $\angle ADM$ и $\angle CMD$ равны как накрест лежащие. Так как $DM$ является биссектрисой угла $\angle D$, то $\angle CDM = \angle ADM$. Следовательно, $\angle CDM = \angle CMD$.
В треугольнике $CDM$ два угла равны ($\angle CDM = \angle CMD$), следовательно, треугольник $CDM$ — равнобедренный с основанием $DM$. Значит, его боковые стороны $CD$ и $CM$ равны. Таким образом, $CM = CD = 3$ см.

Сторона $BC$ точками $K$ и $M$ делится на три отрезка: $BK$, $KM$ и $MC$. Мы нашли длины двух крайних отрезков: $BK = 3$ см и $MC = 3$ см. Длина всей стороны $BC$ равна 10 см. Чтобы найти длину среднего отрезка $KM$, нужно из длины всей стороны вычесть длины двух найденных отрезков:
$KM = BC - BK - MC = 10 - 3 - 3 = 4$ см.

Следовательно, биссектрисы делят противоположную сторону на отрезки длиной 3 см, 4 см и 3 см.

Ответ: 3 см, 4 см, 3 см.