Номер 425, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 425, страница 114.

Условие.

425 Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 46 см, $AB=14$ см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $A$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию дан параллелограмм $ABCD$. Его периметр $P = 46$ см, а одна из сторон $AB = 14$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон. Для параллелограмма $ABCD$ формула выглядит так: $P = 2(AB + AD)$.

Подставим известные значения и найдем длину стороны $AD$:
$46 = 2(14 + AD)$
$23 = 14 + AD$
$AD = 23 - 14 = 9$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD = 14$ см, а $BC = AD = 9$ см.

Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А?

Пусть $AM$ – биссектриса угла $A$. Она выходит из вершины $A$ и пересекает либо сторону $BC$, либо сторону $CD$.

Рассмотрим треугольник, который биссектриса отсекает от параллелограмма. Пусть точка $M$ — точка пересечения биссектрисы со стороной, которую она пересекает.

По определению биссектрисы, $\angle DAM = \angle BAM$.

Так как в параллелограмме стороны попарно параллельны, рассмотрим две возможные ситуации:

1. Если биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $M$, то $AD \parallel BC$. Прямая $AM$ является секущей. Тогда накрест лежащие углы $\angle DAM$ и $\angle BMA$ равны. Из этого следует, что $\angle BAM = \angle BMA$, а треугольник $ABM$ – равнобедренный с основанием $AM$. Значит, $AB = BM$. По условию $AB = 14$ см, следовательно, $BM$ должно быть равно 14 см. Но длина всей стороны $BC$ равна 9 см. Так как $BM > BC$ ($14$ см > $9$ см), точка $M$ не может лежать на стороне $BC$.
2. Если биссектриса пересекает сторону $CD$ в точке $M$, то $AB \parallel CD$. Прямая $AM$ является секущей. Тогда накрест лежащие углы $\angle BAM$ и $\angle DMA$ равны. Из этого следует, что $\angle DAM = \angle DMA$, а треугольник $ADM$ – равнобедренный с основанием $AM$. Значит, $AD = DM$. Мы вычислили, что $AD = 9$ см, следовательно, $DM = 9$ см. Длина всей стороны $CD$ равна 14 см. Так как $DM < CD$ ($9$ см < $14$ см), точка $M$ действительно лежит на стороне $CD$.

Вывод: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$.

Ответ: Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$.

Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Как было установлено выше, биссектриса $AM$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Она делит сторону $CD$ на два отрезка: $CM$ и $DM$.

Длина отрезка $DM$ равна длине стороны $AD$, то есть $DM = AD = 9$ см.

Длина всей стороны $CD$ равна длине стороны $AB$, то есть $CD = 14$ см.

Чтобы найти длину второго отрезка, $CM$, вычтем из длины всей стороны $CD$ длину отрезка $DM$:
$CM = CD - DM = 14 - 9 = 5$ см.

Таким образом, сторона $CD$ делится на отрезки длиной 9 см и 5 см.

Ответ: 9 см и 5 см.