Номер 11, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 11, страница 113.

Условие.

11 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Признаки параллелограмма — это утверждения, которые позволяют сделать вывод, что данный четырехугольник является параллелограммом. Существует несколько основных признаков.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем в четырехугольнике диагональ $AC$, которая разделит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники:

1. $AB = CD$ (по условию).
2. $AC$ — общая сторона.
3. $\angle BAC = \angle ACD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). По определению, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники:

1. $AB = CD$ (по условию).
2. $BC = DA$ (по условию).
3. $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: Четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. $AO = OC$ (по условию).
2. $BO = OD$ (по условию).
3. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$ (или $\angle CAB = \angle ACD$).

Углы $\angle CAB$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.

Итак, в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.