Номер 5, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 5, страница 113.

Условие.

5 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим выпуклый n-угольник. Обозначим его внутренние углы при вершинах как $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$. Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом. Обозначим внешние углы, взятые по одному при каждой вершине, как $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$.

По определению, внутренний и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^{\circ}$. Таким образом, для каждой из $n$ вершин многоугольника справедливо равенство:

$\alpha_i + \beta_i = 180^{\circ}$

Просуммируем эти равенства для всех $n$ вершин, от $i=1$ до $n$:

$(\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) + \ldots + (\alpha_n + \beta_n) = n \cdot 180^{\circ}$

Сгруппируем отдельно суммы внутренних и внешних углов:

$(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n) + (\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_n) = n \cdot 180^{\circ}$

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника известна и вычисляется по формуле:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

Подставим это выражение в наше уравнение. Обозначим искомую сумму внешних углов как $S_{внешн} = \beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_n$.

$(n - 2) \cdot 180^{\circ} + S_{внешн} = n \cdot 180^{\circ}$

Выразим отсюда $S_{внешн}$:

$S_{внешн} = n \cdot 180^{\circ} - (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

Вынесем $180^{\circ}$ за скобки:

$S_{внешн} = 180^{\circ} \cdot (n - (n - 2))$

$S_{внешн} = 180^{\circ} \cdot (n - n + 2)$

$S_{внешн} = 180^{\circ} \cdot 2$

$S_{внешн} = 360^{\circ}$

Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от количества его сторон и всегда равна $360^{\circ}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$.