Номер 9, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Вопросы к главе 5 - номер 9, страница 113.

Условие.

9. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Проведем диагональ $AC$. Она делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Доказательство равенства противоположных сторон

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$:

1. Сторона $AC$ — общая.
2. $\angle BCA = \angle DAC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC \parallel AD$ и секущей $AC$).
3. $\angle BAC = \angle DCA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $AC$).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = CD$ и $BC = DA$. Таким образом, противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство равенства противоположных углов

Из доказанного ранее равенства треугольников ($\triangle ABC \cong \triangle CDA$) следует равенство их соответственных углов: $\angle B = \angle D$.

Теперь докажем равенство углов $\angle A$ и $\angle C$. Угол $\angle A$ параллелограмма равен сумме $\angle BAC + \angle DAC$. Угол $\angle C$ параллелограмма равен сумме $\angle DCA + \angle BCA$.

Так как из доказательства выше мы знаем, что $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle DAC = \angle BCA$, то $\angle A = \angle C$.

Таким образом, противоположные углы параллелограмма также равны.

Ответ: Утверждение о том, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны, полностью доказано.