Номер 416, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 416, страница 113.

Условие.

416 Даны две точки $A$ и $B$, симметричные относительно некоторой прямой, и точка $M$. Постройте точку, симметричную точке $M$ относительно той же прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $l$ — неизвестная прямая, относительно которой симметричны точки $A$ и $B$. Нам нужно построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно той же прямой $l$.

Осевая симметрия является движением, а значит, сохраняет расстояния между точками. Это ключевое свойство, которое мы используем для построения.

Поскольку точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$, а точка $M$ симметрична точке $M'$ относительно той же прямой, то расстояние между точками $A$ и $M$ равно расстоянию между их образами — точками $B$ и $M'$. То есть, $AM = BM'$.

Аналогично, расстояние между точками $B$ и $M$ равно расстоянию между их образами — точками $A$ и $M'$. То есть, $BM = AM'$.

Таким образом, искомая точка $M'$ удовлетворяет двум условиям:

1. Она находится на расстоянии, равном длине отрезка $BM$, от точки $A$.

2. Она находится на расстоянии, равном длине отрезка $AM$, от точки $B$.

Точка, удовлетворяющая этим двум условиям, является точкой пересечения двух окружностей. Это дает нам следующий алгоритм построения.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $B$ и $M$.

2. Строим окружность (или ее дугу) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $BM$.

3. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками $A$ и $M$.

4. Строим окружность (или ее дугу) с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AM$.

5. Точка пересечения этих двух окружностей (дуг) и будет искомой точкой $M'$.

Примечание: В общем случае окружности пересекутся в двух точках. Одна из них будет соответствовать точке $M$ (если точки $A$, $B$, $M$ образуют равнобедренный треугольник с основанием $AB$), а другая — искомой точке $M'$. Если точки $A$, $B$, $M$ не лежат на одной прямой, искомая точка $M'$ будет определена однозначно как точка пересечения, лежащая с другой стороны от прямой $AB$ относительно точки $M$. Если точки $A, B, M$ лежат на одной прямой, то и точка $M'$ будет лежать на этой же прямой.

Ответ: Для построения точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной ему, необходимо построить пересечение двух окружностей: первой — с центром в точке $A$ и радиусом $BM$, и второй — с центром в точке $B$ и радиусом $AM$. Точка пересечения этих окружностей и будет искомой точкой $M'$.