Номер 414, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Четырёхугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат - номер 414, страница 112.

Условие.

414 ☐ Постройте ромб:

а) по двум диагоналям;

б) по стороне и углу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) по двум диагоналям

Пусть даны два отрезка, $d_1$ и $d_2$, которые являются длинами диагоналей будущего ромба. Для построения ромба воспользуемся свойством его диагоналей: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности радиусом, большим половины $AC$, так, чтобы они пересеклись в двух точках. Прямая, проходящая через эти точки пересечения, будет серединным перпендикуляром к $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $AC$ как $O$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, равные половине второй диагонали, то есть $OB = OD = d_2/2$.
4. Последовательно соединим точки $A$, $B$, $C$ и $D$ отрезками.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как его диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$ по построению взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам.

Ответ: Ромб построен.

б) по стороне и углу

Пусть дан отрезок $a$ (сторона ромба) и угол $\alpha$ (один из углов ромба). Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный стороне $a$.
2. От луча $AB$ в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AX$ так, чтобы $\angle BAX = \alpha$.
3. На луче $AX$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $a$.
4. Теперь построим оставшиеся две стороны. Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
5. Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
6. Точка пересечения этих двух дуг будет четвертой вершиной ромба, обозначим ее $C$.
7. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ все стороны равны $a$ по построению ($AB = AD = BC = DC = a$), и один из углов, $\angle DAB$, равен $\alpha$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Ромб построен.