Номер 360, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 360, страница 96.

Условие.

360 □ Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть искомый треугольник — это $△ABC$. Нам даны его периметр $P = AB + BC + CA$, один из углов, например, $∠B = β$, и высота, проведённая из вершины другого угла, например, из вершины $A$, — $h_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $△ABC$ построен. На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ отложим отрезок $BD$, равный стороне $AB$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CE$, равный стороне $AC$. В результате получим отрезок $DE$, длина которого равна периметру треугольника $ABC$:

$DE = DB + BC + CE = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим $△ADB$. Так как $DB = AB$, он является равнобедренным. Угол $∠ABC$ (или $∠B$) является внешним углом для $△ADB$. Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, $∠B = ∠BDA + ∠BAD$. Поскольку $△ADB$ равнобедренный, $∠BDA = ∠BAD$. Таким образом, $∠B = 2 \cdot ∠BDA$, откуда $∠BDA = ∠B / 2 = β/2$.

Аналогично, $△ACE$ является равнобедренным ($CE=AC$), и $∠ACB = 2 \cdot ∠CEA$.

Таким образом, вершина $A$ искомого треугольника является вершиной $△ADE$, у которого мы знаем основание $DE = P$ и угол при основании $∠D = β/2$.

Кроме того, нам дана высота $h_a$, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$. В нашей конструкции сторона $BC$ лежит на прямой $DE$. Следовательно, высота $h_a$ — это расстояние от точки $A$ до прямой $DE$.

Таким образом, точка $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на луче, выходящем из точки $D$ под углом $β/2$ к прямой $DE$.
2. Она лежит на прямой, параллельной $DE$ и находящейся на расстоянии $h_a$ от нее.

Пересечение этих двух геометрических мест и даст нам вершину $A$.

Найдя точку $A$, мы можем найти точки $B$ и $C$. Точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$ ($AB=DB$), следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Также она лежит на отрезке $DE$. Аналогично, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$ и на отрезке $DE$.

Построение

1. Начертим произвольную прямую $d$ и отложим на ней отрезок $DE$, равный заданному периметру $P$.
2. Построим угол, равный данному углу $β$, и разделим его пополам (построим его биссектрису), чтобы получить угол $β/2$.
3. От луча $DE$ в одной из полуплоскостей отложим угол, равный $β/2$, с вершиной в точке $D$. Получим луч $m$.
4. Построим прямую $l$, параллельную прямой $d$ и удалённую от неё на расстояние, равное высоте $h_a$.
5. Точку пересечения луча $m$ и прямой $l$ обозначим как $A$.
6. Соединим точки $A$ и $D$ отрезком. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим как $B$.
7. Соединим точки $A$ и $E$ отрезком. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точку его пересечения с отрезком $DE$ обозначим как $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный $△ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

• Периметр: Точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AB = DB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AC = CE$. Периметр $△ABC$ равен $AB + BC + AC = DB + BC + CE = DE$. По построению $DE = P$. Значит, периметр построенного треугольника равен $P$.
• Угол: В равнобедренном $△ADB$ ($AB=DB$) угол $∠ABC$ является внешним. Следовательно, $∠ABC = ∠BDA + ∠BAD = 2 \cdot ∠BDA$. По построению $∠BDA = β/2$, значит, $∠ABC = 2 \cdot (β/2) = β$.
• Высота: По построению точка $A$ лежит на прямой $l$, параллельной прямой $DE$ (на которой лежит сторона $BC$) и находящейся на расстоянии $h_a$ от неё. Следовательно, высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если луч $m$ (шаг 3) и прямая $l$ (шаг 4) пересекаются. Это возможно всегда, если заданные величины положительны ($P > 0$, $h_a > 0$) и угол $β$ является углом треугольника ($0° < β < 180°$), так как в этом случае $0° < β/2 < 90°$, и луч не будет параллелен прямой $l$. При данных условиях построение даёт единственное решение (с точностью до выбора полуплоскости для построения).

Ответ:
Построение описано выше. Оно заключается в построении вспомогательного треугольника $ADE$ на отрезке $DE$, равном периметру $P$, с углом $∠D = β/2$ и высотой из вершины $A$ к стороне $DE$, равной $h_a$. Вершины искомого треугольника $B$ и $C$ находятся как пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AD$ и $AE$ с основанием $DE$.