Номер 355, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 355, страница 96.

Условие.

355 □ Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $a$. Постройте точку $M$ прямой $a$ так, чтобы сумма $AM + MB$ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы $AX + XB$, где $X$ — любая точка прямой $a$, отличная от $M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи используется метод симметрии. Идея заключается в том, чтобы "спрямить" ломаную $AMB$ в прямой отрезок, длина которого и будет наименьшим расстоянием.

Построение

1. Выберем одну из точек, например, точку $A$. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. Для этого:
   • Проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $a$. Пусть $H$ — точка их пересечения.
   • На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HA'$, равный отрезку $AH$, так, чтобы точки $A$ и $A'$ лежали по разные стороны от прямой $a$.
2. Соединим полученную точку $A'$ с точкой $B$ прямой линией.
3. Точка пересечения отрезка $A'B$ с прямой $a$ и будет искомой точкой $M$.

Доказательство

Докажем, что построенная точка $M$ действительно обеспечивает наименьшую сумму $AM + MB$.

По построению, прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что любая точка, лежащая на прямой $a$, равноудалена от точек $A$ и $A'$.

Следовательно, для нашей построенной точки $M$ выполняется равенство: $AM = A'M$.

Тогда сумма расстояний $AM + MB$ может быть переписана как $A'M + MB$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $A'B$, то эта сумма равна длине отрезка $A'B$:
$AM + MB = A'M + MB = A'B$.

Теперь возьмем любую другую точку $X$ на прямой $a$, отличную от $M$. Для точки $X$ также выполняется свойство серединного перпендикуляра: $AX = A'X$.

Сумма расстояний для точки $X$ будет равна $AX + XB = A'X + XB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A'XB$. Точки $A'$, $X$ и $B$ не лежат на одной прямой (поскольку $X$ не совпадает с $M$). По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

$A'X + XB > A'B$

Заменяя левую часть на эквивалентную ей сумму $AX + XB$ и правую часть на эквивалентную ей сумму $AM + MB$, получаем:

$AX + XB > AM + MB$

Это неравенство доказывает, что для любой другой точки $X$ на прямой $a$ сумма расстояний будет больше, чем для точки $M$, построенной указанным способом. Следовательно, точка $M$ является искомой.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения прямой $a$ и отрезка, соединяющего точку $B$ с точкой $A'$, симметричной точке $A$ относительно прямой $a$.