Номер 354, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 354, страница 96.

Условие.

354 □ Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Через три данные точки проведите окружность

Чтобы провести окружность через три данные точки, назовем их $A$, $B$ и $C$, необходимо найти ее центр и радиус. Центр окружности, точка $O$, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть $OA = OB = OC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек (например, $A$ и $B$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Следовательно, центр искомой окружности $O$ должен лежать как на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, так и на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Таким образом, центр $O$ — это точка пересечения этих двух серединных перпендикуляров.

Порядок построения:

1. Соединяем точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$ отрезками.
2. Строим серединный перпендикуляр $m_1$ к отрезку $AB$.
3. Строим серединный перпендикуляр $m_2$ к отрезку $BC$.
4. Находим точку пересечения $O$ прямых $m_1$ и $m_2$. Эта точка является центром окружности.
5. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из данных точек (например, $R=OA$).
6. Проводим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Ответ: Центр окружности, проходящей через три точки, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки. Радиус равен расстоянию от найденного центра до любой из данных точек.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Это зависит от взаимного расположения трех точек на плоскости.

Случай 1: Три точки не лежат на одной прямой.
В этом случае точки образуют треугольник $ABC$. Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника ($AB$ и $BC$) не параллельны, а значит, всегда пересекаются в одной-единственной точке $O$. Эта точка и будет центром единственной окружности, описанной около данного треугольника. Таким образом, если точки не лежат на одной прямой, задача имеет единственное решение.

Случай 2: Три точки лежат на одной прямой (коллинеарны).
В этом случае отрезки $AB$ и $BC$ лежат на одной прямой. Серединные перпендикуляры к этим отрезкам ($m_1$ и $m_2$) будут перпендикулярны этой прямой, а значит, они будут параллельны друг другу. Если точки $A$, $B$, $C$ различны, эти перпендикуляры не совпадают. Параллельные прямые не пересекаются, следовательно, не существует точки $O$, равноудаленной от всех трех точек. Значит, провести окружность через три точки, лежащие на одной прямой, невозможно.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой.